牛顿冷却定律公式推导牛顿冷却定律是热力学中一个重要的经验定律，用于描述物体在周围环境温度影响下温度变化的规律。该定律由艾萨克·牛顿提出，广泛应用于工程、物理和日常生活中，如制冷体系、热传导分析等。
一、牛顿冷却定律概述
牛顿冷却定律指出：一个物体的温度变化速率与其与周围环境的温差成正比。也就是说，物体温度越高，与环境的温差越大，散热越快。
数学表达式为：
$$
\fracdT}dt} = -k(T – T_s)
$$
其中：
– $ T $ 是物体的温度（单位：℃或K）
– $ T_s $ 是环境温度（单位：℃或K）
– $ k $ 是比例常数，与物体的材料、表面积、介质等影响有关
– $ \fracdT}dt} $ 是温度随时刻的变化率
负号表示物体温度会逐渐降低，直到与环境温度相等。
二、公式推导经过
1. 建立微分方程
根据牛顿冷却定律，可得微分方程：
$$
\fracdT}dt} = -k(T – T_s)
$$
2. 分离变量法求解
将方程两边变量分离：
$$
\fracdT}T – T_s} = -k dt
$$
3. 积分求解
对两边进行积分：
$$
\int \frac1}T – T_s} dT = -\int k dt
$$
积分结局为：
$$
\ln
$$
4. 解指数形式
消去天然对数，得到：
$$
T – T_s = e^-kt + C} = Ce^-kt}
$$
其中 $ C = e^C $ 是积分常数。
5. 引入初始条件
假设在 $ t = 0 $ 时，物体温度为 $ T_0 $，则：
$$
T_0 – T_s = C
$$
因此，最终解为：
$$
T(t) = T_s + (T_0 – T_s)e^-kt}
$$
三、拓展资料与关键参数
| 名称 | 含义 | 单位 | 备注 |
| $ T(t) $ | 物体随时刻变化的温度 | ℃ 或 K | 随时刻变化的函数 |
| $ T_s $ | 环境温度 | ℃ 或 K | 常量 |
| $ T_0 $ | 初始时刻物体温度 | ℃ 或 K | 初始条件 |
| $ k $ | 冷却系数（比例常数） | 1/s | 与物体性质、环境有关 |
| $ t $ | 时刻 | s | 自变量 |
四、应用实例
假设一个物体初始温度为 $ T_0 = 80^\circ C $，环境温度为 $ T_s = 20^\circ C $，冷却系数 $ k = 0.05 \, \texts}^-1} $，则其温度随时刻变化的函数为：
$$
T(t) = 20 + (80 – 20)e^-0.05t} = 20 + 60e^-0.05t}
$$
通过这个公式，可以计算任意时刻物体的温度。
五、重点拎出来说
牛顿冷却定律通过简单的微分方程形式，揭示了物体温度随时刻变化的规律。虽然它一个经验公式，但在许多实际难题中具有较高的准确性。领会其推导经过有助于深入掌握热传导的基本原理，并为后续更复杂的传热模型打下基础。
